2.递归状态估计--概率机器人

概率机器人的技术核心是由传感器数据来估计状态。

状态估计是用来解决“某些变量（状态值）不能直接观测，但是可以从传感器的数据中估计” 这个问题。

概率的基本概念

1.随机变量：$X$ 变量取值为$x$的概率：

$$p(X=x)$$

有时简写为$p(x)$

2.PDF(Probability Density Function)：概率密度函数

正态分布： $$\mathcal{N}(x;\mu, \sigma^2)$$

一维：

$$p(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

多维：

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k |\boldsymbol{\Sigma}|}} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right)$$

参数说明：

• $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^k$：$k$维随机向量观测值
• $\boldsymbol{\mu} \in \mathbb{R}^k$：均值向量（决定分布中心）
• $\boldsymbol{\Sigma} \in \mathbb{R}^{k \times k}$：协方差矩阵（决定分布形状）

关键性质：

1. 非退化条件：协方差矩阵必须正定（$\boldsymbol{\Sigma}$ 的特征值全为正）
2. 线性变换不变性：若 $\mathbf{X} \sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$，则 $A\mathbf{X} + \mathbf{b} \sim N(A\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b}, A\boldsymbol{\Sigma}A^\top)$，其中 $A$ 为任意 $m \times k$ 矩阵
3. 边缘分布：任意子集维度构成的分布仍为正态分布
4. 条件分布：给定部分维度的观测值，剩余维度的条件分布仍为正态分布

协方差矩阵结构解析：

$$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2 & \cdots & \rho\sigma_1\sigma_k \\ \rho\sigma_2\sigma_1 & \sigma_2^2 & \cdots & \rho\sigma_2\sigma_k \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho\sigma_k\sigma_1 & \rho\sigma_k\sigma_2 & \cdots & \sigma_k^2 \end{pmatrix}$$

• 对角线元素 $\sigma_i^2$：第 $i$ 个变量的方差
• 非对角线元素 $\rho\sigma_i\sigma_j$：变量 $i$ 和 $j$ 的协方差（$\rho$ 为相关系数）

特殊形式：

• 球对称分布：当协方差矩阵为 $\sigma^2 \mathbf{I}$ 时，各维度独立同分布
• 独立性条件：当 $\boldsymbol{\Sigma}$ 为对角矩阵时，各维度相互独立3,4

3.贝叶斯公式

要求$p(y)\gt 0$

离散情况:

$$p(x|y) = \frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\sum_{x^\prime}p(y|x^\prime)p(x^\prime)}$$

连续情况：

$$p(x|y) = \frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\int p(y|x^\prime)p(x^\prime)dx}$$

($x$是机器人的状态，$y$是传感器数据)

另外$p(y)$是不会依赖于x的，所以经常使用

$p(x|y)\propto p(y|x)p(x)$

得到“先验”和“似然”后通常会 需要乘以归一化因子。